1. Pendahuluan

TOPSIS adalah metode pengambilan keputusan multikriteria yang pertama kali diperkenalkan oleh Yoon dan Hwang tahun 1981. Menurut Hwang dan Zeleny (Kusumadewi,dkk. , 2006), TOPSIS didasarkan pada konsep dimana alternatif terpilih yang terbaik tidak hanya memiliki jarak terpendek dari solusi ideal positif, namun juga memiliki jarak terpanjang dari solusi ideal negatif dari sudut pandang geometris dengan menggunakan jarak euclidean untuk menentukan kedekatan relatif dari suatu alternatif dengan solusi optimal.

Solusi ideal positif didefinisikan sebagai jumlah dari seluruh nilai terbaik yang dapat dicapai untuk setiap atribut, sedangkan solusi ideal negatif terdiri dari seluruh nilai terburuk yang dicapai untuk setiap atribut (Meliana, 2011). TOPSIS mempertimbangkan keduanya, jarak terhadap solusi ideal positif dan jarak terhadap solusi ideal negatif dengan mengambil kedekatan relatif terhadap solusi ideal positif. Berdasarkan perbandingan terhadap jarak relatifnya, susunan prioritas alternatif bisa dicapai.

Konsep ini banyak digunakan pada beberapa model MADM untuk menyelesaikan masalah keputusan secara praktis (Hwang, 1993; Liang,1999; Deng-Yeh-Willis, 2000). Hal ini disebabkan konsepnya sederhana dan, mudah dipahami, komputasinya efisien, dan memiliki kemampuan untuk mengukur kinerja relatif dari alternatif-alternatif keputusan dalam bentuk matematis yang sederhana (Kusumadewi, dkk., 2006: 88).

Pre-requisites

Pemahaman terhadap dasar-dasar Sistem Pengambilan Keputusan
Pemahaman terhadap dasar-dasar teknologi web,HTML dan CSS
Pemahaman terhadap dasar-dasar basis data/database, terutama query SQL pada MySQL/mariaDB
Pemahaman terhadap dasar-dasar pemrograman PHP, terutama fungsi-fungsi koneksi database dan pengelolaan tipe data array

1.1. Tahapan Metode TOPSIS

Tahapan-tahapan yang ada dalam metode TOPSIS adalah sebagai berikut :

Membuat matriks keputusan yang ternormalisasi
Membuat matriks keputusan yang ternormalisasi terbobot
Menentukan matriks solusi ideal positif dan matriks solusi ideal negatif
Menentukan jarak antara nilai setiap alternatif dengan matriks solusi ideal positif dan negatif
Menentukan nilai preferensi untuk setiap alternatif

1.1.1. Matriks Keputusan Ternormalisasi (`R`)

TOPSIS membutuhkan ranking kinerja setiap alternatif A_i pada setiap kriteria C_j yang ternormalisasi yaitu :

$r_{ij}=\frac{x_{ij}}{\sqrt{\sum_{i=1}^{m}x_{ij}^2}}$

.. [TOP-01]

dengan i=1,2,...,m; nilai m menunjukkan jumlah alternatif yang dievaluasi, dan nilai X_ij menunjukkan nilai rating kecocokan alternatif ke-i terhadap kriteria ke-j.

1.1.2. Matriks Keputusan Ternormalisasi Terbobot (`Y`)

Nilai dari masing-masing data ternormalisasi (R) kemudian dikalikan dengan bobot (W) untuk mendapatkan matriks keputusan ternormalisasi terbobot (Y)

$y_{ij}=w_j.r_{ij}$

.. [TOP-02]

Dengan w_j adalah pangkat bernilai positif untuk atribut keuntungan (Benefit), dan bernilai negatif untuk atribut biaya (cost). Nilai w_j menunjukkan nilai bobot dari kriteria C yang ke-j

1.1.3. Matriks Solusi Ideal Positif (`A⁺`) dan Negatif (`A^-`)

Solusi ideal positif A⁺ dan solusi ideal negatif A^- dapat ditentukan berdasarkan ranking bobot ternormalisasi (y_ij)

1.1.3.1. Solusi Ideal Positif `A⁺`

Persamaan yang digunakan untuk menentukan solusi ideal positif adalah:

$A^{+}=\{(max\ y_{ij}|j \in J),(min\ y_{ij}|j \in J^{'}),i=1,2,3,...,m\}$

.. [TOP-03.A]

Atau dapat dinyatakan dengan lebih sederhana sebagai berikut:

$A^{+}=(y_1^{+},y_2^{+},y_3^{+},...,y_n^{+})$

.. [TOP-03.B]

1.1.3.2. Solusi Ideal Negatif `A^-`

Persamaan yang digunakan untuk menentukan solusi ideal positif adalah:

$A^{-}=\{(min\ y_{ij}|j \in J),(max\ y_{ij}|j \in J^{'}),i=1,2,3,...,m\}$

.. [TOP-04.A]

Persamaan tersebut dapat dituliskan juga sebagai :

$A^{-}=(y_1^{-},y_2^{-},y_3^{-},...,y_n^{-})$

.. [TOP-04.B]

Keterangan

J = himpunan kriteria keuntungan (benefit criteria)
J' = himpunan kriteria biaya (cost criteria)
y_ij = elemen dari matriks keputusan yang ternormalisai terbobot Y
y⁺_j = max_i{y_ij} ; jika j adalah atribut keuntungan (benefit criteria)
y⁺_j = min_i{y_ij} ; jika j adalah atribut biaya (cost criteria)
y^-_j = min_i{y_ij} ; jika j adalah atribut keuntungan (benefit criteria)
y^-_j = max_i{y_ij} ; jika j adalah atribut biaya (cost criteria)
j = 1, 2, 3, . . . , n

1.1.4. Jarak Solusi Ideal Positif/Negatif (`D`)

1.1.4.1. Jarak antara Alternatif `A_i` dengan Solusi Ideal Positif (`D⁺`)

$D_i^{+}=\sqrt{\sum_{j=1}^{n}(y_i^{+}-y_{ij})^2}$

.. [TOP-05]

1.1.4.2. Jarak antara Alternatif `A_i` dengan Solusi Ideal Negatif (`D^-`)

$D_i^{-}=\sqrt{\sum_{j=1}^{n}(y_{ij}-y_i^{-})^2}$

.. [TOP-06]

Keterangan

y⁺_j = solusi ideal positif untuk atribut ke-j
y^-_j = solusi ideal negatif untuk atribut ke-j
y_ij = elemen dari matriks keputusan yang ternormalisai terbobot Y

1.1.5. Nilai Preferensi (`V`)

Nilai preferensi untuk setiap alternatif (V_i) diberikan sebagai :

$V_i=\frac{D_i^{-}}{D_i^{-}+D_i^{+}}$

.. [TOP-07]

Nilai V_i yang lebih besar menunjukkan bahwa alternatif A_i lebih dipilih

1.2. Kelebihan dan Kekurangan

Berikut ini adalah kelebihan dan kekurangan dari metode TOPSIS ini:

1.2.1. Kelebihan TOPSIS

Konsepnya sederhana dan mudah dipahami, kesedarhanaan ini dilihat dari alur proses metode TOPSIS yang tidak begitu rumit. Karena menggunakan indikator kriteria dan variabel alternatif sebaga pembantu untuk menentukan keputusan
Komputasinya efisien, perhitungan komputasinya lebih efisien dan dan cepat,
Mampu dijadikan sebagai pengukur kinerja alternatif dan juga alternatif keputusan dalams sebuah bentuk output komputasi yang sederhana
Dapat digunakan sebabai metode pengambilan keputusan yang lebih cepat

1.2.2. Kekurangan TOPSIS

Belum adanya penentuan bobot prioritas yang menjadi prioritas hitungan terhadap kriteria, yang berguna untuk meningkatkan validitas nilai bobot perhitungan kriteria. Maka dengan alasan ini, metode ini dapat di kombinasikan misalnya dengan metode AHP agar menghasilkan otuput atau keputusan yang lebih maksimal
Belum adanya bentuk linguistik untuk penilaian alternatif terhadap kriteria, basanya bentuk linguistik ini di interpretasikan dalam sebuah bilangan fuzzy
Belum adanya mediator seperti hirarki jika di proses secara mandiri maka dalam ketepatan pengambilan keputusan cenderung belum menghasilkan keputusan yang sempurna
Metode TOPSIS ini dapat digunakan dalam menentukan perangkingan alternatif dengan memperhitungkan solusi ideal dari suatu masalah dan penentuan bobot setiap kriteria. Namun, kurang baik jika digunakan dalam mendapatkan bobot yang memperhitungkan hubungan antara kriteria. Walaupun dapat dilakukan dengan pairwase comparison, tetapi membutuhkan matriks dan perhitungan yang lebih rumit. Oleh karena itu, dilakukan penggabungan dengan metode lain seperti ANP Analytic Network Process dalam mengatasi masalah pembobotan tersebut.
Pada proses yang menggunakan metode TOPSIS, perangkingan dan pembobotan kriteria adalah memiliki nilai yang telah pasti. Padahal, dalam aplikasinya dikehidupan nyata, terdapat informasi yang tidak lengkap atau informasi yang dibutuhkan tidak tersedia. Contoh penyebab informasi yang tidak lengkap tersebut adalah karena adanya penilaian dari manusia yang seringkali bersifat tidak pastikabur fuzzy dan tidak dapat mengestimasikan perangkingan dalam data numerik yang pasti. Ketidakpastian ini merupakan sesuatu yang tidak dapat diatasi jika menggunakan metode TOPSIS, kecuali jika dilakukan perhitungan algoritma lebih lanjut dalam perumusan metode TOPSIS tersebut.
Metode TOPSIS menentukan solusi berdasarkan jarak terpendek menuju solusi ideal dan jarak terbesar dari solusi negatif yang ideal. Namun, metode ini tidak mempertimbangkan kepentingan relatif relative importance dari masing-masing jarak tersebut.
Pada metode TOPSIS, seringkali digunakan asumsi pada tingkat kepentingan relatif masing-masing respon dan digunakan kombinasi dengan metode lain untuk menyelesaikan asumsi tersebut. Contohnya adalah dengan menggunakan metode AHP Analytical Hierarchy Process atau ANP Analytic Network Process untuk memperoleh nilai bobot yang mewakili tingkat kepentingan relatif masing-masing kriteria.
Pada metode TOPSIS, alternatif dengan ranking tertinggi merupakan solusi yang terbaik, namun belum tentu ranking tertinggi tersebut adalah yang terdekat dari solusi ideal. Sehingga perlu dilakukan perhitungan lagi untuk memastikannya.

Dan untuk pengembangan biasanya metode ini di kombinasi dengan beberapa metode berikut ini:

Fuzzy dan TOPSIS
TOPSIS dan SAW
AHP dan TOPSIS
TOPSIS dan WP

Perkembangan zaman yang semakin maju seperti sekarang ini membuat kebutuhan masyarakat semakin meningkat pula. Terlebih lagi didorong dengan adanya kemajuan ilmu pengetahuan dan teknologi yang sangat cepat. Sebagai contoh, dengan adanya laptop/notebook segala kegiatan dapat dilakukan dengan cepat dan resiko kesalahan dapat dikurangi.

Sekarang ini laptop merupakan kebutuhan dasar bagi masyarakat baik untuk pendidikan maupun aktifitas bisnis. Namun, memilih laptop/notebook yang tepat sesuai kebutuhan dan anggaran keuangannya bukan hal mudah. Banyaknya pilihan tersedia di pasaran bisa jadi membuat tambah bingung memilihnya

Dalam contoh kasus ini ada 7 jenis laptop, yaitu MSI, DELL, AXIOO, LENOVO, TOSHIBA, FUJITSU, dan ASUS

This document using Dynamic Content Technology ^™ for enrichment sample case and reading experience

Data yang digunakan BUKAN merupakan data real, tapi data yang digenerate secara otomatis dari sistem
Data dan Nilai Perhitungan yang ditampilkan akan SELALU BERBEDA jika halaman di refresh/reload
Jumlah dan Nama produk alternatif ditampilkan secara acak/random antara 4 s.d 8

2.1. Kriteria dan Bobot

Pada kasus pemilihan laptop ini telah ditentukan 8 buah kriteria yang diperhitungkan, yaitu harga, ukuran layar, processor, kapasitas memory, type memory, kapasitas harddisk, bluetooth, dan webcam dengan rincian bobot penilaian seperti pada TABEL 1 berikut :

**TABEL 1** : Kriteria dan Bobot
Kode	Nama	Bobot (%)	Tipe^[1]
C₁	Harga	30	min
C₂	Ukuran Layar	5	max
C₃	Processor	20	max
C₄	Kapasitas Memory	15	max
C₅	Type Memory	5	max
C₆	Kapasitas Harddisk	15	max
C₇	Bluetooth	5	max
C₈	Webcam	5	max

^[1] `max` menandakan lebih besar lebih baik (Benefit Criteria) sedangkan `min` menandakan lebih kecil lebih baik (Cost Criteria)

2.2. Contoh Data

Data-data awal yang akan diperhitungakan dengan metoda TOPSIS ini adalah seperti yang tercantum dalam TABEL 2 berikut ini ^[2]

**TABEL 2** : Contoh Data
Alternatif		Kriteria
Kode	Nama	C₁	C₂	C₃	C₄	C₅	C₆	C₇	C₈
A₁	MSI	4	3	3	1	5	4	3	3
A₂	DELL	2	4	4	1	3	4	3	5
A₃	AXIOO	3	3	3	3	3	4	5	5
A₄	LENOVO	4	3	3	3	5	5	3	3
A₅	TOSHIBA	4	4	4	4	3	4	3	3
A₆	ASUS	4	3	5	3	5	3	5	3
A₇	FUJITSU	2	3	3	5	3	5	5	3

Keterangan

C₁ : harga
C₂ : ukuran layar
C₃ : processor
C₄ : kapasitas memory
C₅ : type memory
C₆ : kapasitas harddisk
C₇ : bluetooth
C₈ : webcam

^[2] Data yang diberikan merupakan data yang sudah dikuantisasi, bukan berupa data mentah

2.3. Perhitungan

Berikut ini akan dijabarkan perhitungan dengan metoda TOPSIS secara manual lengkah demi langkah untuk memudahkan pemahaman terhadap metoda TOPSIS ini

2.3.1. Matriks Keputusan (`X`)

Langkah pertama adalah membuat matriks keputusan (X) dari data awal yang ada. Dari data pada TABEL 2 dapat dibuat matriks keputusan sebagai berikut :


X = 4 3 3 1 5 4 3 3 
2 4 4 1 3 4 3 5 
3 3 3 3 3 4 5 5 
4 3 3 3 5 5 3 3 
4 4 4 4 3 4 3 3 
4 3 5 3 5 3 5 3 
2 3 3 5 3 5 5 3

2.3.2. Matriks Normalisasi (`R`)

Setelah matriks keputusan dibuat, selanjutnya adalah membuat matriks keputusan yang ternormalisasi R yang fungsinya untuk memperkecil range data, dengan tujuan untuk mempermudah perhitungan TOPSIS dan penghematan penggunaan memory.

Sesuai dengan persamaan [TOP-01] dapat dihitung nilai normalisasinya; sebagai contoh untuk data r_7,7 didapat:

$\begin{align} r_{7,7}&=\frac{x_{7,7}}{\sqrt{(x_{1,7}^2 + x_{2,7}^2 + x_{3,7}^2 + x_{4,7}^2 + x_{5,7}^2 + x_{6,7}^2 + x_{7,7}^2)}} \\ &=\frac{5}{\sqrt{(3^2 + 3^2 + 5^2 + 3^2 + 3^2 + 5^2 + 5^2)}} \\ &=\frac{5}{\sqrt{(9 + 9 + 25 + 9 + 9 + 25 + 25)}} \\ &=\frac{5}{\sqrt{111}}\\ &=0.379663198301\end{align}$

Dengan cara yang sama dapat diperoleh hasil nilai r_i,j untuk semua alternatif A_i dan kriteria C_j , sehingga dapat dibentuk matrik Normalisasi (R) sebagai berikut

R =	0.444	0.342	0.311	0.120	0.475	0.361	0.285	0.308
	0.222	0.456	0.415	0.120	0.285	0.361	0.285	0.513
	0.333	0.342	0.311	0.359	0.285	0.361	0.475	0.513
	0.444	0.342	0.311	0.359	0.475	0.451	0.285	0.308
	0.444	0.456	0.415	0.478	0.285	0.361	0.285	0.308
	0.444	0.342	0.518	0.359	0.475	0.271	0.475	0.308
	0.222	0.342	0.311	0.598	0.285	0.451	0.475	0.308

Pada matrik Normalisasi R di atas, data per-baris dari baris ke-1 s.d. baris ke-7 menunjukan data per-alternatif A_i, sedangkan data per-kolom, dari kolom ke-1 s.d. kolom ke-8 adalah data per-kriteria C_j

2.3.3. Matriks Normalisasi Terbobot (`Y`)

Langkah berikutnya, sesuai dengan persamaan [TOP-02] nilai dari masing-masing data ternormalisasi (R) kemudian dikalikan dengan bobot (W) untuk mendapatkan matriks keputusan ternormalisasi terbobot Y. Sebagai contoh untuk data r_1,1 dapat dicari nilai untuk y_7,7 sebagai berikut:

$\begin{align} y_{7,7} &= r_{7,7}*w_{7} \\ &= 0.47457899787625 * 0.05 \\ &= 0.023728949893812\end{align}$

Dari semua data pada matrik normalisasi R dilakukan perhitungan yang sama dengan perhitungan tersebut, sehingga diperoleh matriks Normalisasi Terbobot (Y) sebagai berikut

Y =	0.133	0.017	0.062	0.018	0.024	0.054	0.014	0.015
	0.067	0.023	0.083	0.018	0.014	0.054	0.014	0.026
	0.100	0.017	0.062	0.054	0.014	0.054	0.024	0.026
	0.133	0.017	0.062	0.054	0.024	0.068	0.014	0.015
	0.133	0.023	0.083	0.072	0.014	0.054	0.014	0.015
	0.133	0.017	0.104	0.054	0.024	0.041	0.024	0.015
	0.067	0.017	0.062	0.090	0.014	0.068	0.024	0.015

2.3.4. Matriks Solusi Ideal (`A`)

Matriks Solusi Ideal (A) merupakan nilai optimum untuk tiap-tiap kriteria, dari beberapa nilai alternatif solusi. Solusi ideal yang dicari terdiri dari dua nilai untuk masing-masing kriteria, yaitu Solusi Ideal Positif (A⁺) dan Solusi Ideal Negatif (A^-)

2.3.4.1. Solusi Ideal Positif (`A⁺`)

Solusi Ideal Positif (A⁺) merupakan nilai optimum maksimum (terbesar) dari suatu kriteria untuk beberapa nilai alternatif solusi dalam satu kriteria.

**TABEL 3** : Solusi Ideal Positif (A⁺)
Kriteria	Solusi	Max
C₁ - harga	0.133 ; 0.067 ; 0.100 ; 0.133 ; 0.133 ; 0.133 ; 0.067	0.133
C₂ - ukuran layar	0.017 ; 0.023 ; 0.017 ; 0.017 ; 0.023 ; 0.017 ; 0.017	0.023
C₃ - processor	0.062 ; 0.083 ; 0.062 ; 0.062 ; 0.083 ; 0.104 ; 0.062	0.104
C₄ - kapasitas memory	0.018 ; 0.018 ; 0.054 ; 0.054 ; 0.072 ; 0.054 ; 0.090	0.090
C₅ - type memory	0.024 ; 0.014 ; 0.014 ; 0.024 ; 0.014 ; 0.024 ; 0.014	0.024
C₆ - kapasitas harddisk	0.054 ; 0.054 ; 0.054 ; 0.068 ; 0.054 ; 0.041 ; 0.068	0.068
C₇ - bluetooth	0.014 ; 0.014 ; 0.024 ; 0.014 ; 0.014 ; 0.024 ; 0.024	0.024
C₈ - webcam	0.015 ; 0.026 ; 0.026 ; 0.015 ; 0.015 ; 0.015 ; 0.015	0.026

2.3.4.2. Solusi Ideal Negatif (`A^-`)

Solusi Ideal Negatif (A^-) merupakan nilai optimum minimum (terkecil) dari suatu kriteria untuk beberapa nilai alternatif solusi dalam satu kriteria.

**TABEL 4** : Solusi Ideal Negatif (A^-)
Kriteria	Solusi	Min
C₁ - harga	0.133 ; 0.067 ; 0.100 ; 0.133 ; 0.133 ; 0.133 ; 0.067	0.067
C₂ - ukuran layar	0.017 ; 0.023 ; 0.017 ; 0.017 ; 0.023 ; 0.017 ; 0.017	0.017
C₃ - processor	0.062 ; 0.083 ; 0.062 ; 0.062 ; 0.083 ; 0.104 ; 0.062	0.062
C₄ - kapasitas memory	0.018 ; 0.018 ; 0.054 ; 0.054 ; 0.072 ; 0.054 ; 0.090	0.018
C₅ - type memory	0.024 ; 0.014 ; 0.014 ; 0.024 ; 0.014 ; 0.024 ; 0.014	0.014
C₆ - kapasitas harddisk	0.054 ; 0.054 ; 0.054 ; 0.068 ; 0.054 ; 0.041 ; 0.068	0.041
C₇ - bluetooth	0.014 ; 0.014 ; 0.024 ; 0.014 ; 0.014 ; 0.024 ; 0.024	0.014
C₈ - webcam	0.015 ; 0.026 ; 0.026 ; 0.015 ; 0.015 ; 0.015 ; 0.015	0.015

2.3.5. Jarak Solusi Ideal (`D`)

Jarak Solusi Ideal (D) adalah jarak euclidean (euclidean distance) antara nilai alternatif dengan nilai solusi ideal untuk setiap kriteria

2.3.5.1. Jarak Solusi Ideal Positif (`D⁺`)

Jarak Solusi Ideal Positif (D⁺) merupakan jarak euclidean antara nilai alternatif dengan nilai solusi ideal positif untuk setiap kriteria. Sebagai contoh perhitungan, berdasarkan persamaan [TOP-05] dapat dicari nilai jarak solusi ideal positif untuk alternatif ke-7 (D⁺₇) sebagai berikut:

$\begin{align} D_{7}^{+} &= \sqrt{[(y_{1}^{+} - y_{7,1})^{2} + (y_{2}^{+} - y_{7,2})^{2} + (y_{3}^{+} - y_{7,3})^{2} + (y_{4}^{+} - y_{7,4})^{2} + (y_{5}^{+} - y_{7,5})^{2} + (y_{6}^{+} - y_{7,6})^{2} + (y_{7}^{+} - y_{7,7})^{2} + (y_{8}^{+} - y_{7,8})^{2}]} \\ &= \sqrt{[(0.133 - 0.067)^2 + (0.023 - 0.017)^2 + (0.104 - 0.062)^2 + (0.090 - 0.090)^2 + (0.024 - 0.014)^2 + (0.068 - 0.068)^2 + (0.024 - 0.024)^2 + (0.026 - 0.015)^2]} \\ &= \sqrt{(0.06667^2 + 0.00570^2 + 0.04148^2 + 0.00000^2 + 0.00949^2 + 0.00000^2 + 0.00000^2 + 0.01026^2)} \\ &= \sqrt{(0.00444 + 3.24675 \times 10^{-5} + 0.00172 + 0.00000 + 9.00901 \times 10^{-5} + 0.00000 + 0.00000 + 0.00011)} \\ &= \sqrt{0.00639} \\ &= 0.079954332793312\end{align}$

Dengan perhitungan yang sama, diperoleh nilai Jarak Solusi Ideal Positif (D⁺) untuk masing-masing alternatif sebagai berikut;

D⁺₁ = 0.085287952608236
D⁺₂ = 0.1018848179251
D⁺₃ = 0.066503683779007
D⁺₄ = 0.056867962630057
D⁺₅ = 0.034927156564105
D⁺₆ = 0.046423617837796
D⁺₇ = 0.079954332793312

2.3.5.2. Jarak Solusi Ideal Negatif (`D^-`)

Jarak Solusi Ideal Negatif (D^-) merupakan jarak euclidean antara nilai alternatif dengan nilai solusi ideal negatif untuk setiap kriteria. Disini bisa dicontohkan untuk perhitungan jarak solusi ideal negatif untuk alternatif ke-7 (D^-₇) , berdasarkan persamaan [TOP-06] sebagai berikut :

$\begin{align} D_{7}^{-} &= \sqrt{[(y_{7,1} - y_{1}^{-})^2 + (y_{7,2} - y_{2}^{-})^2 + (y_{7,3} - y_{3}^{-})^2 + (y_{7,4} - y_{4}^{-})^2 + (y_{7,5} - y_{5}^{-})^2 + (y_{7,6} - y_{6}^{-})^2 + (y_{7,7} - y_{7}^{-})^2 + (y_{7,8} - y_{8}^{-})^2]} \\ &= \sqrt{[(0.067 - 0.067)^2 + (0.017 - 0.017)^2 + (0.062 - 0.062)^2 + (0.090 - 0.018)^2 + (0.014 - 0.014)^2 + (0.068 - 0.041)^2 + (0.024 - 0.014)^2 + (0.015 - 0.015)^2]} \\ &= \sqrt{(0.00000^2 + 0.00000^2 + 0.00000^2 + 0.07171^2 + 0.00000^2 + 0.02705^2 + 0.00949^2 + 0.00000^2)} \\ &= \sqrt{(0.00000 + 0.00000 + 0.00000 + 0.00514 + 0.00000 + 0.00073 + 9.00901 \times 10^{-5} + 0.00000)} \\ &= \sqrt{0.00596} \\ &= 0.077231176023808\end{align}$

Dengan perhitungan yang sama, diperoleh nilai Jarak Solusi Ideal Negatif (D^-) untuk masing-masing alternatif sebagai berikut;

D⁺₁ = 0.068683778025112
D⁺₂ = 0.027400092089485
D⁺₃ = 0.052679269870401
D⁺₄ = 0.080944154435771
D⁺₅ = 0.089346535892105
D⁺₆ = 0.087354273037246
D⁺₇ = 0.077231176023808

2.3.6 Nilai Preferensi (`V`)

Perhitungan Nilai Preferensi (V) berdasarkan persamaan [TOP-07], misalnya untuk alternatif ke-7 dapat dihitung nilai V₇ sebagai berikut:

$\begin{align} V_{7}&=\frac{D_{7}^{-}}{(D_{7}^{-}+D_{7}^{+})} \\ &=\frac{0.077231176023808}{(0.077231176023808 + 0.079954332793312)} \\ &=\frac{0.077231176023808}{0.15718550881712} \\ &=0.49133776138145\end{align}$

Dengan cara yang sama, untuk masing-masing alternatif dapat diperoleh nilai preferensi selengkapnya sebagai berikut:

V₁=0.44608044439449
V₂=0.21193573237892
V₃=0.44200339274494
V₄=0.58735150550736
V₅=0.71894971595527
V₆=0.65297989425503
V₇=0.49133776138145

2.3.7. Perangkingan

Dari hasil perhitungan Nilai Preferensi (V) sebelumnya, dapat diurutkan hasilnya dari yang terbesar sampai yang terkecil; dimana nilai preferensi dari alternatif yang terbesar merupakan alternatif terbaik dari data yang ada dan merupakan alternatif yang terpilih, sedangkan alternatif dengan nilai optimasi terendah adalah yang terburuk dari data yang ada. Dalam urutan dari yang terbesar sampai dengan yang terkecil, diperoleh :

V₅=0.71894971595527
V₆=0.65297989425503
V₄=0.58735150550736
V₇=0.49133776138145
V₁=0.44608044439449
V₃=0.44200339274494
V₂=0.21193573237892

Sehingga hasil akhir dari DSS TOPSIS Method ini adalah dipilih alternatif A₅ (TOSHIBA) dengan Nilai Preferensi (V) sebesar 0.71894971595527

3. Pembuatan Aplikasi PHP

Untuk melengkapi artikel ini, berikut ini akan diberikan gambaran implementasi Metode TOPSIS dengan menggunakan PHP untuk menyelesaikan masalah pengambilan keputusan pemilihan laptop seperti dalam contoh kasus yang ditunjukkan sebelumnya.

Uraian diberikan secara langkah per langkah agar memudahkan pemahaman dalam pembuatan aplikasinya. Dimulai dari rancangan schema database-nya hingga langkah-langkah implemantasi proses sesuai Metode TOPSIS yang sudah dijelaskan sebelumnya, dengan menggunakan data sesuai dengan contoh kasus yang diberikan.

3.1. Persiapan Database

Sebagai bahan pembelajaran aplikasi dengan TOPSIS Method ini, dibuat database db_dss(dalam hal ini menggunakan MySQL/MariaDB Database server) sebagai berikut:

CREATE DATABASE IF NOT EXISTS db_dss;
USE db_dss;

Awalnya membuat dulu database dengan nama db_dss jika belum ada database dengan nama tersebut, kemudian gunakan database tersebut dengan memakai sintak USE db_dss;

Dalam hal ini, pembuatan database memakai command console dari database server yang bersangkutan

3.1.1. Pembuatan Tabel Kriteria (`top_kriteria`)

Dari data kriteria dan bobot di atas, dapat di representasikan kriteria dan parameter yang berperan dalam permasalahan ini dalam bentuk tabel database, yaitu tabel top_kriteria sebagai berikut:

DROP TABLE IF EXISTS top_kriteria;
CREATE TABLE IF NOT EXISTS top_kriteria(
  id_kriteria TINYINT(3) UNSIGNED AUTO_INCREMENT,
  kriteria VARCHAR(100) NOT NULL,
  bobot FLOAT NOT NULL,
  tipe SET('max','min') NOT NULL,
  PRIMARY KEY(id_kriteria)
)ENGINE=MyISAM;

INSERT INTO topk_kriteria(id_kriteria,kriteria,bobot,tipe)
VALUES
(1,'harga','30','min'),
(2,'ukuran layar','5','max'),
(3,'processor','20','max'),
(4,'kapasitas memory','15','max'),
(5,'type memory','5','max'),
(6,'kapasitas harddisk','15','max'),
(7,'bluetooth','5','max'),
(8,'webcam','5','max');

Berikutnya adalah data mengenai nama-nama alternatif yang akan diperhitungkan -- sesuai dengan contoh kasus di atas -- dengan dibuatkan satu tabel baru bernama top_alternatif.

DROP TABLE IF EXISTS top_alternatif;
CREATE TABLE IF NOT EXISTS top_alternatif(
  id_alternatif TINYINT(3) UNSIGNED AUTO_INCREMENT,
  alternatif  VARCHAR(100) NOT NULL,
  PRIMARY KEY(id_alternatif)
)ENGINE=MyISAM;

INSERT INTO top_alternatif(alternatif)
VALUES
('MSI'),
('DELL'),
('AXIOO'),
('LENOVO'),
('TOSHIBA'),
('ASUS'),
('FUJITSU');

Dalam contoh ini atribut yang disimpan hanya `nama` dari alternatifnya. Atribut-atribut (field/kolom) lain bisa ditambahkan disesuaikan dengan kebutuhan sistem/aplikasi yang dibuat

Data-data penilaian yang didapat dalam contoh kasus sebelumnya dimasukkan dalam tabel baru bernama top_sample

DROP TABLE IF EXISTS top_sample;
CREATE TABLE IF NOT EXISTS top_sample(
  id_sample INT(11) UNSIGNED AUTO_INCREMENT,
  id_alternatif TINYINT(3) UNSIGNED NOT NULL,
  id_kriteria TINYINT(3) UNSIGNED NOT NULL,
  nilai FLOAT NOT NULL,
  PRIMARY KEY(id_sample)
)ENGINE=MyISAM;

INSERT INTO top_sample(id_alternatif,id_kriteria,nilai)
VALUES
(1,1,4),(1,2,3),(1,3,3),(1,4,1),(1,5,5),(1,6,4),(1,7,3),(1,8,3),
(2,1,2),(2,2,4),(2,3,4),(2,4,1),(2,5,3),(2,6,4),(2,7,3),(2,8,5),
(3,1,3),(3,2,3),(3,3,3),(3,4,3),(3,5,3),(3,6,4),(3,7,5),(3,8,5),
(4,1,4),(4,2,3),(4,3,3),(4,4,3),(4,5,5),(4,6,5),(4,7,3),(4,8,3),
(5,1,4),(5,2,4),(5,3,4),(5,4,4),(5,5,3),(5,6,4),(5,7,3),(5,8,3),
(6,1,4),(6,2,3),(6,3,5),(6,4,3),(6,5,5),(6,6,3),(6,7,5),(6,8,3),
(7,1,2),(7,2,3),(7,3,3),(7,4,5),(7,5,3),(7,6,5),(7,7,5),(7,8,3);

3.2. Pengambilan Nilai

Sebelum dilakukan perhitungan-perhitungan menggunakan metoda TOPSIS dengan menggunakan PHP, maka terlebih dahulu kita menyiapkan data yang akan diolah dengan mengambil (fetching) data dari database, dan disimpan (assign) ke dalam variabel-variabel PHP.

Data-data yang diambil tersebut meliputi data-data primer -- yaitu data kriteria dan bobot -- serta data-data sekunder yaitu data kandidat/alternatif beserta data penilaiannya (nilai)

3.2.1. Koneksi ke Database

Sebelum melalukan operasi dengan data dari database, perlu dibuat script untuk koneksi ke database terlebih dahulu. Dari database yang sudah dibuat, kita bisa membuat script php untuk membuat koneksi ke database server dengan extension mysqli sebagai berikut:

<?php //-- konfigurasi database $dbhost = 'localhost'; $dbuser = 'root'; $dbpass = ''; $dbname = 'db_dss'; //-- koneksi ke database server dengan extension mysqli $db = new mysqli($dbhost,$dbuser,$dbpass,$dbname); //-- hentikan program dan tampilkan pesan kesalahan jika koneksi gagal if ($db->connect_error) { die('Connect Error ('.$db->connect_errno.')'.$db->connect_error); } ?>;

Sesuaikan nilai-nilai $dbhost,$dbuser,$dbpass dan $dbname dengan konfigurasi database yg digunakan.

Setalah data-data yang diperlukan dalam perhitungan diambil dari database, kemudian data-data tersebut diolah sebagai berikut:

3.3.1. Membuat Matrik Keputusan (`X`)

Matrik keputusan X, seperti dalam bagian sebelumnya direpresentasikan dalam variable $sample (lihat Pengambilan Nilai Penilaian). Data ini dapat ditampilkan dengan kode PHP sebagai berikut:

<table border='1'> <?php //-- menjadikan data $sample sebagai matrik keputusan $X $X=$sample; //-- melakukan iterasi utk setiap alternatif foreach ($X as $id_alternatif=>$a_kriteria) { echo "<tr>"; //-- melakukan iterasi utk setiap kriteria foreach($a_kriteria as $id_kriteria=>$nilai){ echo "<td>{$nilai}</td>"; } echo "</tr>"; } ?> </table>

3.3.2. Membuat Matrik Normalisasi (`R`)

Perhitungan untuk Matrik Normalisai R berdasarkan persamaan [TOP-01], yaitu dengan membagi nilai tiap item pada matrik keputusan X dengan akar kuadrat dari jumlah nilai kuadrat untuk setiap nilai item dalam kriteria yang sama. Dalam script PHP bisa dituliskan sebagai berikut:

<?php //-- inisialisasi array pembagi $pembagi=array(); //-- melakukan iterasi utk setiap kriteria foreach($kriteria as $id_kriteria=>$value){ $pembagi[$id_kriteria]=0; //-- melakukan iterasi utk setiap alternatif foreach($alternatif as $id_alternatif=>$a_value){ $pembagi[$id_kriteria]=pow($X[$id_alternatif][$id_kriteria],2); } } //-- inisialisasi matrik Normalisasi R $R=array(); //-- melakukan iterasi utk setiap alternatif foreach($X as $id_alternatif=>$a_kriteria) { $R[$id_alternatif]=array(); //-- melakukan iterasi utk setiap kriteria foreach($a_kriteria as $id_kriteria=>$nilai){ $R[$id_alternatif][$id_kriteria]=$nilai/sqrt($pembagi[$id_kriteria]); } } ?>

3.3.3. Membuat Matrik Normalisasi Terbobot (`Y`)

Dari matrik normalisasi R, nilai-nilai itemnya dikalikan dengan bobotnya masing-sing sesuai kriteria-nya sehingga diperoleh matrik normalisasi terbobot Y

<?php //-- inisialisasi matrik Normalisasi Terbobot Y $Y=array(); //-- melakukan iterasi utk setiap alternatif foreach($R as $id_alternatif=>$a_kriteria) { $Y[$id_alternatif]=array(); //-- melakukan iterasi utk setiap kriteria foreach($a_kriteria as $id_kriteria=>$nilai){ $Y[$id_alternatif][$id_kriteria] = $nilai * $bobot[$id_kriteria]; } } ?>

3.3.4. Perhitungan Solusi Ideal (`A`)

Solusi Ideal A yang merupakan nilai optimum dari matrik normalisasi terbobot Y, di sini dicari masing-masing nilai Solusi Ideal positif A⁺ dan nilai Solusi Ideal negatif A^- untuk tiap-tiap kriteria, sebagai berikut:

<?php //-- inisialisasi Solusi Ideal A Positif dan Negatif $A_max=$A_min=array(); //-- melakukan iterasi utk setiap kriteria foreach($kriteria as $id_kriteria=>$a_kriteria) { $A_max[$id_kriteria]=0; $A_min[$id_kriteria]=100; //-- melakukan iterasi utk setiap alternatif foreach($alternatif as $id_alternatif=>$nilai){ if($A_max[$id_kriteria]<$Y[$id_alternatif][$id_kriteria]){ $A_max[$id_kriteria] = $Y[$id_alternatif][$id_kriteria]; } if($A_min[$id_kriteria]>$Y[$id_alternatif][$id_kriteria]){ $A_min[$id_kriteria] = $Y[$id_alternatif][$id_kriteria] }; } } ?>

3.3.5. Perhitungan Jarak Solusi Ideal (`D`)

Untuk menghtiung Jarak Solusi Ideal (D), sebelumnya perlu di hitung terlebih dahulu masing-masing Jarak Solusi Ideal Positif (D⁺) dan Jarak Solusi Ideal Negatif (D^-). Perhitungannya sendiri mengacu pada persamaan [TOP-05] dan [TOP-06]

<?php //-- inisialisasi Jarak Solusi Ideal Positif/Negatif $D_plus=$D_min=array(); //-- melakukan iterasi utk setiap alternatif foreach($Y as $id_alternatif=>$n_a){ $D_plus[$id_alternatif]=0; $D_min[$id_alternatif]=0; //-- melakukan iterasi utk setiap kriteria foreach($n_a as $id_kriteria=>$y){ $D_plus[$id_alternatif]+=pow($y-$A_max[$id_kriteria],2); $D_min[$id_alternatif]+=pow($y-$A_min[$id_kriteria],2); } $D_plus[$id_alternatif]=sqrt($D_plus[$id_alternatif]); $D_min[$id_alternatif]=sqrt($D_min[$id_alternatif]); } ?>

3.3.6. Perhitungan Nilai Preferensi (`V`)

Perhitungan nilai preferensi (V) berdasarkan persamaan [TOP-07], dalam bentuk script PHP dapat dituliskan seperti di bawah ini:

<?php //-- inisialisasi variabel array V $V=array(); //-- melakukan iterasi utk setiap alternatif foreach($D_min as $id_alternatif=>$d_min){ //-- perhitungan nilai Preferensi V dari nilai jarak solusi ideal D $V[$id_alternatif] = $d_min/($d_min + $D_plus[$id_alternatif]); } ?>

3.3.7. Perangkingan

Proses perangkingan dilakukan dengan mengurutkan nilai preferensi berdasarkan besar nilainya, dari yang terbesar sampai dengan yang terkecil; dimana kandidat/alternatif dengan nilai preferensi yang terbesar adalah yang terpilih. Proses perangkingan ini dituliskan dalam PHP seperti berikut ini :

<?php //--mengurutkan data secara descending dengan tetap mempertahankan key/index array-nya arsort($V); //-- mendapatkan key/index item array yang pertama $index=key($V); //-- menampilkan hasil akhir: echo "Hasilnya adalah alternatif <b>{$alternatif[$index][0]}</b> "; echo "dengan nilai preferensi <b>{$V[$index]}</b> yang terpilih"; ?>

Hasil akhir dari aplikasi PHP ini adalah berupa teks :
'Hasilnya adalah alternatif TOSHIBA dengan nilai preferensi 0.71894971595527 yang terpilih '.

5. Pustaka

Deng, H.; Yeh, C.H.; Wilis, R.J.(2000) Inter-Company Comparison using Modified TOPSIS with Objective Weight Computer and Operations Research 27(10):963-973
Hwang, C.L.;Lai, Y.L.; Liu, T.Y. (1993) A New Approach for Multiple Objective Decision Making Computer and Operational Research 20:889-899
Hwang, C.L.; Yoon, K, (1981) Multiple Attribute Decision Making Method: Methods and Applications New York: Springer-Verlag
Kusumadewi, S., Hartati, S., Harjoko, A., dan Wardoyo, R. (2006). Fuzzy Multi-Atribute Decision Making (FUZZY MADM). Yogyakarta: Penerbit Graha Ilmu.
Liang G.S. (1999) Fuzzy MCDM Based on Ideal and Anti-Ideal Concepts Eur. J. Oper. Res.,112:682-691
Meliana,Rina (2011) Penerapan Metode TOPSIS Pada Aplikasi Pendukung Keputusan Seleksi Penyaluran Kerja Dalam Bursa Alumni. Bandung : UPI

6. Simulasi

Implementasi Metode Technique for Order of Preference by Similarity to Ideal Solution (TOPSIS) menggunakan PHP

Untuk melengkapi artikel ini, berikut disertakan simulasi sederhana implementasi Metode Technique for Order of Preference by Similarity to Ideal Solution (TOPSIS) dengan PHP. Masukkan nilai-nilai yang diperlukan dan dibagian akhir akhir ditampilkan hasilnya berdasarkan nilai-nilai yang dimasukkan tersebut.

Perhatian

Bagian simulasi ini masih under development, tidak bisa dijadikan acuan sebagai metode TOPSIS yang sebenarnya

Konfigurasi aplikasi

Masukkan jumlah Kriteria (n) dan jumlah Alternatif (m) yang akan disimulasikan. Pada simulasi ini dibatasi nilai masukkannya masing-masing hanya bilangan bulat antara 3 s.d 7 saja

Data Mining Series

Decision Support System Series

Expert System Series

General Articles

Islamic Series

Decision Support System Series

Technique for Order of Preference by Similarity to Ideal Solution

Contoh implementasi DSS (Decision Support System) dengan metode TOPSIS (Technique for Order of Preference by Similarity to Ideal Solution) menggunakan PHP dan MySQL

1. Pendahuluan

Pre-requisites

1.1. Tahapan Metode TOPSIS

1.1.1. Matriks Keputusan Ternormalisasi (R)

1.1.2. Matriks Keputusan Ternormalisasi Terbobot (Y)

1.1.3. Matriks Solusi Ideal Positif (A+) dan Negatif (A-)

1.1.3.1. Solusi Ideal Positif A+

1.1.3.2. Solusi Ideal Negatif A-

1.1.4. Jarak Solusi Ideal Positif/Negatif (D)

1.1.4.1. Jarak antara Alternatif Ai dengan Solusi Ideal Positif (D+)

1.1.4.2. Jarak antara Alternatif Ai dengan Solusi Ideal Negatif (D-)

1.1.5. Nilai Preferensi (V)

1.2. Kelebihan dan Kekurangan

1.2.1. Kelebihan TOPSIS

1.2.2. Kekurangan TOPSIS

2. Contoh Kasus dan Perhitungan

2.1. Kriteria dan Bobot

2.2. Contoh Data

2.3. Perhitungan

2.3.1. Matriks Keputusan (X)

2.3.2. Matriks Normalisasi (R)

2.3.3. Matriks Normalisasi Terbobot (Y)

2.3.4. Matriks Solusi Ideal (A)

2.3.4.1. Solusi Ideal Positif (A+)

2.3.4.2. Solusi Ideal Negatif (A-)

2.3.5. Jarak Solusi Ideal (D)

2.3.5.1. Jarak Solusi Ideal Positif (D+)

2.3.5.2. Jarak Solusi Ideal Negatif (D-)

2.3.6 Nilai Preferensi (V)

2.3.7. Perangkingan

3. Pembuatan Aplikasi PHP

3.1. Persiapan Database

3.1.1. Pembuatan Tabel Kriteria (top_kriteria)

3.1.2. Pembuatan Tabel Alternatif top_alternatif

3.1.2. Pembuatan Tabel Sample top_sample

3.2. Pengambilan Nilai

3.2.1. Koneksi ke Database

3.3. Perhitungan

3.3.1. Membuat Matrik Keputusan (X)

3.3.2. Membuat Matrik Normalisasi (R)

3.3.3. Membuat Matrik Normalisasi Terbobot (Y)

3.3.4. Perhitungan Solusi Ideal (A)

3.3.5. Perhitungan Jarak Solusi Ideal (D)

3.3.6. Perhitungan Nilai Preferensi (V)

3.3.7. Perangkingan

4. Kesimpulan

5. Pustaka

6. Simulasi

Perhatian

Konfigurasi aplikasi

Artikel Terkait

1.1.1. Matriks Keputusan Ternormalisasi (`R`)

1.1.2. Matriks Keputusan Ternormalisasi Terbobot (`Y`)

1.1.3. Matriks Solusi Ideal Positif (`A⁺`) dan Negatif (`A^-`)

1.1.3.1. Solusi Ideal Positif `A⁺`

1.1.3.2. Solusi Ideal Negatif `A^-`

1.1.4. Jarak Solusi Ideal Positif/Negatif (`D`)

1.1.4.1. Jarak antara Alternatif `A_i` dengan Solusi Ideal Positif (`D⁺`)

1.1.4.2. Jarak antara Alternatif `A_i` dengan Solusi Ideal Negatif (`D^-`)

1.1.5. Nilai Preferensi (`V`)

2.3.1. Matriks Keputusan (`X`)

2.3.2. Matriks Normalisasi (`R`)

2.3.3. Matriks Normalisasi Terbobot (`Y`)

2.3.4. Matriks Solusi Ideal (`A`)

2.3.4.1. Solusi Ideal Positif (`A⁺`)

2.3.4.2. Solusi Ideal Negatif (`A^-`)

2.3.5. Jarak Solusi Ideal (`D`)

2.3.5.1. Jarak Solusi Ideal Positif (`D⁺`)

2.3.5.2. Jarak Solusi Ideal Negatif (`D^-`)

2.3.6 Nilai Preferensi (`V`)

3.1.1. Pembuatan Tabel Kriteria (`top_kriteria`)

3.1.2. Pembuatan Tabel Alternatif `top_alternatif`

3.1.2. Pembuatan Tabel Sample `top_sample`

3.3.1. Membuat Matrik Keputusan (`X`)

3.3.2. Membuat Matrik Normalisasi (`R`)

3.3.3. Membuat Matrik Normalisasi Terbobot (`Y`)

3.3.4. Perhitungan Solusi Ideal (`A`)

3.3.5. Perhitungan Jarak Solusi Ideal (`D`)

3.3.6. Perhitungan Nilai Preferensi (`V`)